Escola:Omega Disciplina: Matemática Série: 9º ano B Professor: Luciano Alunas: Beatriz Cerqueira e Sofia Cassariego.
sábado, 25 de setembro de 2010
domingo, 29 de agosto de 2010
quinta-feira, 5 de agosto de 2010
Segmentos proporcionais : Atividades para testar o seu conheçimento.
1. (G1) Os quadriláteros ABCD e EFGH a seguir são semelhantes. Nessas condições determine:
a) razão de semelhança de ABCD e EFGH
b) as medidas x, y, z
2. (Unicamp 93) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB=2cm, BC=3cm e CD=5cm. O segmento AD' mede 13cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
3. (G1) Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de x
GABARITO
1. a) 3/2
b) x = 3; y = 2,4; z = 6
2. AB' = 2,6 cm ; B'C' = 3,9 cm ; C'D' = 6,5 cm.
3. x = 9
a) razão de semelhança de ABCD e EFGH
b) as medidas x, y, z
2. (Unicamp 93) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB=2cm, BC=3cm e CD=5cm. O segmento AD' mede 13cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
3. (G1) Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de x
GABARITO
1. a) 3/2
b) x = 3; y = 2,4; z = 6
2. AB' = 2,6 cm ; B'C' = 3,9 cm ; C'D' = 6,5 cm.
3. x = 9
Teorema de Tales
O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais.
Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.
Obeserve:
No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais, de acordo com o Teorema de Tales temos as seguintes proporcionalidades:
Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Observe o seguinte exemplo, nele aplicaremos o Teorema de Tales para encontrar o valor do segmento desconhecido:
O Teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo cálculo de distâncias inacessíveis, possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à Astronomia.
Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.
Obeserve:
No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais, de acordo com o Teorema de Tales temos as seguintes proporcionalidades:
Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Observe o seguinte exemplo, nele aplicaremos o Teorema de Tales para encontrar o valor do segmento desconhecido:
O Teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo cálculo de distâncias inacessíveis, possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à Astronomia.
Qual a importancia da matemática na sociedade ?
Como sabemos, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem. Parece-me um pouco complicado, não ? Temos que admitir que estamos cercados por números ! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação em outras palavras : números. Esta é talvez a principal teoria matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis a sociedade
O que é a Matemática
Realmente é muito difícil definir em poucas palavras o que é matemática e toda definição não conseguirá expressar todo o significado da matemática; porém vou tentar dar uma noção : A priori a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (seus axiomas são independentes dos axiomas das outras ciências) que se baseia em : axiomas, teoremas, corolários, lemas, postulados e proposições para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. Mas o que é um padrão ? Vou dar-lhes exemplos para que este conceito fique mais fácil : 1) As listas dos tigres e as manchas das hienas mostram uma certa regularidade matemática, 2)O número de pétalas das flores mostra-nos um tipo de padrão curioso, pois na grande maioria delas o número de pétalas ocorre nesta estranha sequência : 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89. Observe que 3 + 5 = 8 , 5 + 8 = 13 e assim por diante. Realmente temos que admitir que há muita beleza na natureza, para concluir isso não é necessário saber muita matemática. Porém há muita beleza também no método matemático, o qual a partir de indícios, deduzem-se regras, mas é um tipo diferente de beleza que se aplica às idéias e não às coisas.Podemos além destas duas definições dar uma mais técnica : A matemática como uma expressão da mente humana, ativará os reflexos, o contemplamento da razão e o desejo pela perfeição estética. É também chamada por muitos de linguagem universal (é uma linguagem porque é formada por signos linguísticos que passam idéias e significados). Ela pode ser dividida em matemática pura e aplicada e seus elementos básicos são a lógica e a intuição, análise e construção, generalização e individualização.
terça-feira, 27 de julho de 2010
Equação biquadrada
Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0.
Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.
Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.
Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
4x4 – 17x2 + 4 = 0 → equação biquadrada
4(x2)2 – 17x2 + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: x2 = y, isso significa que onde for x2 iremos colocar y.
4y2 – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.
a = 4 b = -17 c = 4
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-17)2 – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225
x = - b ± √∆
2a
x = -(-17) ± √225
2 . 4
x = 17 ± 15
8
x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8
x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4
Essas são as raízes da equação 4y2 – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x4 – 17x2 + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x2 = y.
Para x = 4
x2 = y
x2 = 4
x = √4
x = ± 4
Para x = 1
4
x2 = y
x2 = 1
4
y = ±1
2
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0.
Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.
Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.
Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
4x4 – 17x2 + 4 = 0 → equação biquadrada
4(x2)2 – 17x2 + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis: x2 = y, isso significa que onde for x2 iremos colocar y.
4y2 – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.
a = 4 b = -17 c = 4
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-17)2 – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225
x = - b ± √∆
2a
x = -(-17) ± √225
2 . 4
x = 17 ± 15
8
x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
8
x” = 17 – 15 = 2 = 1
8 8 4
Essas são as raízes da equação 4y2 – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x4 – 17x2 + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x2 = y.
Para x = 4
x2 = y
x2 = 4
x = √4
x = ± 4
Para x = 1
4
x2 = y
x2 = 1
4
y = ±1
2
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-2, -1, 1, 2}.
2 2
sexta-feira, 23 de julho de 2010
Soma e produto das raízes
As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:
Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.
Soma
Produto
Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.
Observe:
A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:
Soma
Produto
Produto
Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.
Observe:
A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:
Soma
Produto
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